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Ingeniería Industrial 4° A

Ecuaciones Diferenciales

Jorge Armando Orbe Hernández

Solución de Ecuaciones Diferenciales

Esta clase se podría considerar como relativamente fácil ya que solo se busca identificar una ecuación diferencial tiene solución o no, para identificar si una ecuación diferencial tiene solución o no esta debe poder igualarse al valor de la derecha de su signo de igual.

Para determinar si una ecuación diferencial tiene solución o no la tiene debemos de seguir los siguientes pasos:

1.-Clasificar la ecuación diferencial.

2.- Derivar 

3.- Sustituir y desarrollar

Si la ecuación diferencial es igual al valor del lado derecho de su signo igual o a cero, entonces; la ecuación diferencial tiene solución👌👍👍, si no es igual, no la tiene🚩🚩🚩.

"En el blog anterior ya he redactado la manera en que se clasifican las ecuaciones diferenciales, también en cursos de semestres pasados he usado derivadas y el desarrollo algebraico de las mismas, por lo que los conocimientos para llegar hasta este punto en la búsqueda de la solución de las ecuaciones diferenciales están claros. 😁"

**Hasta este punto solo hemos identificado si las ecuaciones diferenciales tienen solución o no nos hace falta hallar esa solución**

Referencias:

Cómo resolver una ecuación diferencial - wikiHow

Yunus A. Cengel, W. J. (2014). Ecuaciones diferenciales para ciencias e ingeniería, Pp (17-24).

 

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Ecuaciones diferenciales

Jorge Armando Orbe Hernández

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Una ecuación diferencial es una ecuación con una función y una o más de sus derivadas. Nos indica la tasa o velocidad de cambio de una variable y con respecto de la variable t. Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar de acuerdo a su tipo, orden, linealidad y homogeneidad.

Ecuaciones diferenciales de acuerdo a su tipo

Por su tipo se pueden clasificar de acuerdo a su variable o variables en ordinarias y parciales:

Ecuaciones diferenciales Ordinarias

Si la función depende solo de una variable independiente entonces recibe el nombre de ecuación diferencial ordinaria:   dy/dx-3y=0

Ecuaciones diferénciales parciales 

si la función desconocida depende de dos o más variables es una ecuación diferencial parcial:

(∂y/∂x)-(3∂y/∂z)=x^2

Ecuaciones diferenciales de acuerdo a su orden:

El orden de una ecuación diferencial lo determina la máxima derivada presente en dicha función.

1° orden...........y´-5y=0

2° orden...........y´´-5y=0

3° orden...........y´´´-5y=0 

4° orden...........y^ (4)-5y=0

n° orden...........y^ (n)-5y=0

A partir de la cuarta derivada se escribe como un exponente encerrado entre paréntesis.

Ecuaciones diferenciales de acuerdo a la linealidad:

Criterios de linealidad

1) las variables dependientes y sus derivadas son de primer grado.

2) Los coeficientes de la variable dependiente y sus derivadas dependen de la variable independiente.

3) L linealidad solo se exige para la variable dependiente y su derivada (no puede estar afectada por alguna otra operación).

Ecuaciones diferenciales homogéneas / No homogéneas

Una ecuación diferencial es homogénea si esta igualada a 0, si no se encuentra iguala a 0 entonces es no homogénea.

En esta clase tuve una confusión al principio con las ecuaciones al no darme cuenta en el enunciado de que las ecuaciones diferenciales ordinarias y lineales se clasificaban de acuerdo a su variable independiente, me di cuenta una vez entregado el taller. 

Encontré también una clasificación de acuerdo a su grado la cual está dada por el grado al que esta elevado la derivada de mayor orden presente en la ecuación.

Ecuaciones Diferenciales - Introducción (disfrutalasmatematicas.com)

Ecuaciones diferenciales ordinarias | Aprende con Alf

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Jorge Armando Orbe Hernández 

Calculo Diferencial

Máximos Y Mínimos

El objetivo de una empresa es tomar las decisiones necesarias para maximizar sus ganancias y minimizar sus costos para lograr ser rentable. Este es un proceso de optimización.

Frecuentemente los procesos productivos y los resultados monetarios de las empresas pueden modelarse mediante el uso de funciones reales por lo que los problemas de optimización empresarial se convierten en problemas de optimización de funciones reales. Entonces, se trata de encontrar aquellos puntos en los que una función real alcanza un valor máximo o mínimo, tales puntos se conocen como puntos críticos de la función y se obtienen usando su derivada.

Para entender un poco mas que es un máximo y un mínimo analizaremos la siguiente grafica

Si x es un punto critico y la derivada f(x) pasa de positiva en valores anteriores a x a negativa en valores posteriores a x entonces x es un máximo. Un Máximo Local es un punto de la función donde ésta cambia de creciente a decreciente, es decir, aquellos puntos altos de la gráfica.

Si x es un punto crítico, y la derivada de f(x) pasa de negativa en valores anteriores a x a positiva en valores posteriores a x entonces x es un mínimo. Un Mínimo Local es un punto de la función donde ésta cambia de decreciente a creciente, es decir, aquellos puntos bajos de la gráfica.

Pasos para calcular el máximo y el mínimo de una función:

1.-Calcular la derivada de la función

2.-  El resultado lo igualamos a cero y resolvemos la ecuación. Las raíces x1, x2, x3, … que obtenemos son los valores críticos (son los que hacen que la pendiente tenga pendiente 0) para los cuales la función puede tener un máximo o un mínimo.

 3.-Para saber si se trata de un máximo o un mínimo, se toma un valor un poco menor al critico y este se sustituye en la deriva, y se hace lo mismo para un valor mayor al critico. Como resultado veremos lo siguiente; si el valor de la derivada cambia de positivo a negativo, el valor critico en análisis es de un máximo, si se cambia de positivo a negativo, sé trata de un mínimo, y si no cambia en ningún sentido entonces se trata de un punto de inflexión.

4.-Los valores críticos se evalúan en la función original para obtener el valor de "y", así  determinamos las  coordenadas de dichos puntos.

Máximos y Mínimos aplicando el criterio de la segunda derivada

Ejemplos de máximos y mínimos

Para entender mejor el tema me apoye en el siguiente libro en el capitulo 33 Máximos Y Mínimos Pp (203-208)

Trucios, S. F. (2008). Calculo Diferencial Tercera Edición. Prolongacion Paseo de la reforma 1015 Torre A,piso17,Colonia Santa Fe, Delegació Alvaro Obregon C.P.01376 Mexico D.F.: McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES S.A de C.V.

Referencias:

CÁLCULO DIFERENCIAL - MÁXIMOS Y MÍNIMOS (weebly.com)

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Derivadas Exponenciales Y Logarítmicas

Desarrollo y ejemplos de la derivada exponencial y logarítmica

Derivada de una función exponencial natural

Derivada de la función logaritmo natural

Derivada de la función exponencial de base a

Derivada de la función logaritmo de base a

Ejemplos:

derivadas defunciones exponenciales y logarítmicas

derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas

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DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.

La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar como se comporta una función trigonométrica  respecto a la variable independiente; es decir, la derivada de la función, Por ejemplo: al derivar f(x) = sen(x) se esta calculando la función f´(x), tal que da el ritmo de cambio de sen(x) en cada punto x.

Para calcular las derivada de esta funciones existen algunas reglas predeterminadas que nos indicas cual es el valor de dichas derivadas.

Ejemplos:

Derivadas de funciones trigonométricas 1

Derivadas de funciones trigonométricas 2

Derivadas de funciones trigonométricas 3

 

Referencias:

Derivadas de las funciones trigonométricas básicas (unam.mx)

Derivada de Funciones Trigonométricas - Fisimat

Para estudiar sobre la derivada y sus reglas tuve de apoyo este libro en Pp(101-122)

Bibliografía

Trucios, S. F. (2008). Calculo Diferencial Tercera edición. Mexico D.F: McGraw-Hill Interamericana.

Reglas de Derivación.

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Jorge Armando Orbe Hernández.

REGLAS DE DERIVACION 

1. La derivada de una constante

                                                

𝑑/ 𝑑𝑥 [𝑐] = 0

La derivada de una constante con respecto a x es 0.

2. Derivada de la variable independiente.

la derivada de una variable con respecto a si misma es la unidad

d(x)/dx=1

3. Derivada de una potencia entera positiva.

La derivada de una función elevada a un exponente entero positivo es igual al producto del exponente por la función elevada a ese exponente disminuido en uno por la deriva de la función.

^{4. Deriva de una constante por una función.}

Si 𝑓 es una función derivable y 𝑐 un número real, entonces 𝑐𝑓 también es derivable y

 

La derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivad de la función.

5.  Derivada de suma /Resta de funciones

La deriva con respecto a x de la suma de un numero finito de funciones es igual a la suma de sus derivadas.

6. Deriva de un producto

El producto de funciones derivables también es derivables y esta es igual a la primera función por la deriva de la segunda mas la derivada de la primera por la segunda función.

7. Regla del cociente.

La deriva de un cociente de funciones es igual a una fracción que tiene por numerador: el denominador por la derivada del numerador, menos el numerador por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador

8. Regla de la cadena

La deriva deuna función compuesta f(g(x)) es igual a la derivada f´(g(x)) multiplicada por la derivada de g´(x)

Para estudiar sobre la derivada y sus reglas tuve de apoyo este libro en Pp(59-76)

Bibliografía

Trucios, S. F. (2008). Calculo Diferencial Tercera edición. Mexico D.F: McGraw-Hill Interamericana.

 

Referncias:

r125496.PDF (tecnm.mx)

Reglas de Derivación (disfrutalasmatematicas.com)

Reglas de derivación (unc.edu.ar)
 

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La derivada

La derivada de una función matemática es la razón o velocidad de cambio de una función en un determinado punto. Es decir, qué tan rápido se está produciendo una variación.

La derivada de una función es la pendiente de la recta tangente al punto donde se ubica x. Como también podría ser la tangente del Angulo de inclinación con respecto al eje x de la recta que es tangente a la función en el punto que se esta analizando.

La derivada de una función puede expresarse de la siguiente forma:

En la fórmula, x es el punto en el que la variable toma el valor de x. Asimismo, h es cualquier número, como vemos este numero luego tiende a cero. Para que una función sea derivable deben cumplirse con que existan los limites por la izquierda y por la derecha.

Derivada de una función.

Existen varias notaciones que se usan para representar la derivada .

En este enlace encontraremos algunos ejemplos de la derivada de una función.

Aquí encontraremos algunos Ejercicios resueltos.