INIDE

Ingeniería Industrial 2a

Jorge Armando Orbe Hernández 

Calculo Diferencial

Máximos Y Mínimos

El objetivo de una empresa es tomar las decisiones necesarias para maximizar sus ganancias y minimizar sus costos para lograr ser rentable. Este es un proceso de optimización.

Frecuentemente los procesos productivos y los resultados monetarios de las empresas pueden modelarse mediante el uso de funciones reales por lo que los problemas de optimización empresarial se convierten en problemas de optimización de funciones reales. Entonces, se trata de encontrar aquellos puntos en los que una función real alcanza un valor máximo o mínimo, tales puntos se conocen como puntos críticos de la función y se obtienen usando su derivada.

Para entender un poco mas que es un máximo y un mínimo analizaremos la siguiente grafica

Si x es un punto critico y la derivada f(x) pasa de positiva en valores anteriores a x a negativa en valores posteriores a x entonces x es un máximo. Un Máximo Local es un punto de la función donde ésta cambia de creciente a decreciente, es decir, aquellos puntos altos de la gráfica.

Si x es un punto crítico, y la derivada de f(x) pasa de negativa en valores anteriores a x a positiva en valores posteriores a x entonces x es un mínimo. Un Mínimo Local es un punto de la función donde ésta cambia de decreciente a creciente, es decir, aquellos puntos bajos de la gráfica.

Pasos para calcular el máximo y el mínimo de una función:

1.-Calcular la derivada de la función

2.-  El resultado lo igualamos a cero y resolvemos la ecuación. Las raíces x1, x2, x3, … que obtenemos son los valores críticos (son los que hacen que la pendiente tenga pendiente 0) para los cuales la función puede tener un máximo o un mínimo.

 3.-Para saber si se trata de un máximo o un mínimo, se toma un valor un poco menor al critico y este se sustituye en la deriva, y se hace lo mismo para un valor mayor al critico. Como resultado veremos lo siguiente; si el valor de la derivada cambia de positivo a negativo, el valor critico en análisis es de un máximo, si se cambia de positivo a negativo, sé trata de un mínimo, y si no cambia en ningún sentido entonces se trata de un punto de inflexión.

4.-Los valores críticos se evalúan en la función original para obtener el valor de "y", así  determinamos las  coordenadas de dichos puntos.

Máximos y Mínimos aplicando el criterio de la segunda derivada

Ejemplos de máximos y mínimos

Para entender mejor el tema me apoye en el siguiente libro en el capitulo 33 Máximos Y Mínimos Pp (203-208)

Trucios, S. F. (2008). Calculo Diferencial Tercera Edición. Prolongacion Paseo de la reforma 1015 Torre A,piso17,Colonia Santa Fe, Delegació Alvaro Obregon C.P.01376 Mexico D.F.: McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES S.A de C.V.

Referencias:

CÁLCULO DIFERENCIAL - MÁXIMOS Y MÍNIMOS (weebly.com)